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TD16. Lancer de dés

L'objectif de ce TD est de continuer à s'entraîner à écrire des fonctions récursives. Cette fois ci, nous allons utiliser note ordinateur pour explorer de façon systématique toutes les possibilités offertes par des lancers de dés à six faces.

Dans ce TD, toutes les fonctions demandées doivent être récursives.

Exercice 1 : énumérations de lancers possibles

Question 1

Implémenter une fonction lance(nb_des) renvoyant la somme des valeurs du nombre de dés demandé lancés aléatoirement (une seule fois).

Cliquez ici pour révéler la correction. Cette première fonction devrait normalement être est assez simple à réaliser :

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def lance(nb_des):
    """Renvoie la somme des valeurs du nombre de dés lancés aléatoirement."""
    if nb_des == 0:
        return 0
    return random.randint(1, 6) + lance(nb_des - 1)

Question 2

On souhaite maintenant énumérer tous les lancers possibles pour un nombre de dés donné. Pour ce faire, on utilise un tableau des dont chaque case correspondra à un dé et contiendra donc les valeurs de 1 à 6 au cours de l’énumération. On effectue une récurrence sur le nombre de dés non encore lancés.

Implémenter une fonction récursive enumere_lancers_rec(des, des_restants), où des contient un lancer partiel et des_restants le nombre de dés restant à lancer, qui affiche sur la sortie standard toutes les lancers possibles.

Implémenter une fonction enumere_lancers(nb_des) qui appelle enumere_lancers_rec(des, des_restants) avec les paramètres initiaux permettant d’énumérer tous les lancers possibles pour le nombre de dés spécifié.

Cliquez ici pour révéler la correction. Le paramètre optionnel somme dans la fonction suivante sera ajouté dans la question 3 suivante, on l'ignore pour le moment.

La complexité de enumere_lancers(nb_des) est 6^nb_des.

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def enumere_lancers_rec(des, des_restants, somme=None):
    """Enumere toutes les lancers possibles de des_restants dés.

    Nombre d'appels récursifs = 6^des_restants.
    """

    # Cas de base
    if des_restants == 0:
        if sum(des) == somme:
            print("***", des, "***")
        else:
            print(des)
        return

    # Sinon on tire le dés "courant" 6 fois
    # et on fait les appels récursifs
    for de_courant in range(1, 7):
        des[-des_restants] = de_courant
        enumere_lancers_rec(des, des_restants - 1, somme)

def enumere_lancers(nb_des):
    """Enumere toutes les lancers possibles de nb_des dés: complexité = 6^nb_des"""
    enumere_lancers_rec([0] * nb_des, nb_des)

Correction vidéo proposant une autre façon de faire :

Question 3

Implémenter une fonction enumere_lancers_somme(nb_des, somme) affichant tous les lancers comme enumere_lancers(nb_des) mais qui "encadre" l'affichage des lancers dont la somme vaut somme par "***".

Cliquez ici pour révéler la correction. Pour ne pas dupliquer de code, on peut simplement ajouter un paramètre optionnel somme à la fonction enumere_lancers_rec(des, des_restants) comme c'est le cas dans le code ci-dessus. Et ensuite on appelle la fonction avec une valeur différente de None pour ce paramètre somme comme ci-dessous.

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def enumere_lancers_somme(nb_des, somme):
    """Enumere toutes les lancers possibles de nb_des dés.

    Les lancés dont la somme vaut somme sont affichés entre "***".
    """
    enumere_lancers_rec([0] * nb_des, nb_des, somme=somme)

Exercice 2 : compter le nombre de lancers

Question 1

Implémenter une fonction compte_occurence_somme(nb_des, somme) renvoyant le nombre de lancers du nombre de dés donné atteignant la somme demandée. On essaiera d’éviter d’énumérer toutes les combinaisons possibles.

Cliquez ici pour révéler la correction. On va élaguer le plus possible de branches dans l'arbre d'appels. Néanmoins, cette solution reste exponentielle en le nombre de dés dans le pire cas. Pour se sortir de ça, il faudrait faire de la programmation dynamique (abordée plus tard dans les cursus Ensimag).

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def compte_occurence_somme(nb_des, somme):
    """Renvoie le nombre de lancers de la taille donnée atteignant la somme demandée."""

    # Cas de base
    if nb_des == 0:
        if somme == 0:
            return 1
        return 0

    # Si en ne faisant que des 1 ensuite on dépasse
    # alors on peut s'arréter
    if nb_des * 1 > somme:
        return 0

    # Si en ne faisant que des 6 ensuite on y arrive pas
    # alors on s'arrête aussi
    if nb_des * 6 < somme:
        return 0

    # Sinon on tire le dés "courant" 6 fois
    # et on fait les appels récursifs si besoin
    compte = 0
    for de_courant in range(1, 7):

        # Sinon on fait l'appel récursif
        compte += compte_occurence_somme(nb_des - 1, somme - de_courant)

    return compte

Correction vidéo :

Question 2

On suppose disposer d’une fonction fonction_validation prenant un tableau de dés en argument. Cette fonction classe les lancers de dés en valides ou invalides selon un certain critère arbitraire : elle renvoie True lorsqu’un lancer doit être considéré comme valide et False dans le cas contraire.

Implémenter une fonction compte_lancers_valides(nb_des, fonction_validation) renvoyant pour le nombre de dés donné le nombre de lancers valides selon la fonction de validation donnée.

Cliquez ici pour révéler la correction. Ici on ne peut plus élaguer, il faut donc explorer l'espace des possibles complètement.

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def compte_lancers_valides_rec(fonction_validation, des, des_restants):
    """Renvoie le nombre de lancers valides de nb_des dés."""

    # Cas de base
    if des_restants == 0:
        return int(fonction_validation(des))

    # Sinon on tire le dés "courant" 6 fois
    # et on fait les appels récursifs si besoin
    compte = 0
    for de_courant in range(1, 7):
        des[des_restants - 1] = de_courant
        compte += compte_lancers_valides_rec(fonction_validation, des, des_restants - 1)

    return compte

def compte_lancers_valides(nb_des, fonction_validation):
    """Renvoie le nombre de lancers valides de nb_des dés."""
    return compte_lancers_valides_rec(fonction_validation, [0] * nb_des, nb_des)

Exercice 3 : est-ce que 1, 2, 4 est différent de 4, 1, 2 ? (pour aller plus loin)

Quand on joue aux dés, et qu'on les lance tous d'un coup, "l'ordre" n'a aucune importance. Autrement dit, avec 3 dés par exemple, le lancer 1, 2, 4 est équivalent au lancer 4, 1, 2.

Question 1

Reprendre la question 2 de l'exercice 1 pour énumérer seulement les lancers distincts (relativement à la permutation des dés).

Cliquez ici pour révéler la correction. L'idée est de ne considérer que les lancers où les valeurs des dés sont triées par ordre croissant par exemple. Pour ce faire, une solution consiste à ajouter un paramètre vmin à notre fonction récursive. Ce paramètre indique la valeur minimum des prochains dés à tirer.

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def enumere_lancers_distincts_rec(des, des_restants, vmin):
    """Enumere toutes les lancers distincts possibles de des_restants dés."""

    # Cas de base
    if des_restants == 0:
        print(des)
        return

    # Sinon on tire le dés "courant" 6 fois
    # et on fait les appels récursifs
    for de_courant in range(vmin, 7):
        des[-des_restants] = de_courant
        enumere_lancers_distincts_rec(des, des_restants - 1, de_courant)

def enumere_lancers_distincts(nb_des):
    """Enumere toutes les lancers distincts possibles de nb_des dés.

    Complexité = (nb_des + 5, 5)
               = (nb_des + 5)! / (5! * (nb_des + 5 - 5)!)
               = (nb_des + 5)! / (5! * nb_des!)

    Pour 3 dés ça donne : (8*7*6) / 5! = 56.

    Sinon pour info, itertools.combinations_with_replacement(range(1, 7), 3)
    fait exactement ce qu'on veut ici :)
    """
    enumere_lancers_distincts_rec([0] * nb_des, nb_des, 1)

Question 2

Combien de lancers distincts existent avec nbdes dés ?

Cliquez ici pour révéler la correction. Le nombre de lancers distincts est le nombre de combinaisons de taille nbdes avec répétition parmi un ensemble de taille 6 qui vaut :

$$\binom{nbdes + 5}{5}$$

Sinon pour information, itertools.combinations_with_replacement(range(1, 7), 3) fait exactement ce qu'on veut :)